黑色三角板的挑戰：三角函數四道試煉
在黑暗的夜晚，天色被烏雲遮蔽，冷風呼嘯而過，低調的數學邪惡組織悄悄地在人們的城市中投下了挑戰書，這是對數學天賦的試煉，四道三角函數的難題，唯有解開它們的人才能拯救城市於危難！
每週將挑選最低調的禮拜一在Facebook、Plurk、IG上開放一道題目，連續四週共四題，想阻止我們吸收優秀的數學人才加入我們這個低調的邪惡組織嗎？那你就來阻止我們吧，如果你能的話……
第一試煉：光影之塔
你站在城市的廣場上，抬頭望見前方高聳的塔樓。突然、塔頂發出了一道光束，映照在地面上形成明亮的光影。光束在不同時間照射到地面的角度也會不同，請運用三角函數計算這些角度。
題目：
- 已知角度 \(\theta_1 = 30^\circ\)，請計算 \(\sin(30^\circ)\)。
- 已知外傾角度 \(\theta_2 = 45^\circ\)，請計算 \(\tan(45^\circ)\)。
- 已知光束與地面形成的角度 \(\theta_3 = 60^\circ\) ，請計算\(\cos(60^\circ)\)。
第二試煉：光芒的三角板
步入一片古老的石壁迷宮，牆上刻滿了神秘的數學符號。迷宮中央的祭壇上，低調的數學邪惡組織的成員們冷笑著凝視你，他們手中的三角板，激起一道光芒，這道光化作一道三角形浮現在空中，這是你的第二道試煉──計算這個三角形的邊長，證明你的數學實力！
題目：
這道光芒所化成的直角三角形，已知它斜邊長度為 10，且其中一個銳角 \( \theta \) 的正弦值為 \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \)，請計算這個直角三角形的對邊與鄰邊長度。
第三試煉：懸崖的繩索
穿出迷宮原來外頭已日正當中，你站在山谷懸崖邊看見低調的數學邪惡組織的成員在對岸大喊：「哈哈哈，想追上我的話就必須掌握餘弦定理！」
題目：
山谷的懸崖兩側各有一顆巨石（A、B），與懸崖的谷底（C）形成一個三角形。在這個三角形ABC 中，其中懸崖到谷底兩邊長分別為 a = 7、b = 9，且谷底的夾角 C = 60°，請計算第三邊c的長度，以便準備繩索通過。
提示：
餘弦定理：\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C) \)
第四試煉：熱氣球
渡過懸崖後來到一片寬廣的草原上，太陽漸漸落下，再過一下就能看見夕陽。你看見一個熱氣球準備升起，搭乘在熱氣球上的數學邪惡組織成員對著趕來的你說：「你們慢了一步了！我們先走啦，後會有期！」
然而邪惡組織的成員似乎沒發現有一條繩梯落在外面，你想著衝過去繩梯的話或許還有機會抓住他們……
題目：
熱氣球緩緩升空 15 公尺，太陽照射熱氣球的影子與草地形成一個\(40^\circ\)的角。
你正好在被熱氣球的影子壟罩的地方，假設熱氣球正停在半空中不動的話，要跑多遠才能抓住那條從熱氣球上垂直落下來的繩梯呢？
提示：
水平距離=\(\text{高度} \times \cot(\theta)\)
題目提供：陳南羽
